lunes, 22 de marzo de 2021

SOBRE LA INUTILIDAD DE LA ENSEÑANZA DEL TEMA SUCESIONES EN LA EDUCACIÓN BÁSICA

 No me refiero a las sucesiones tales como

- Progresiones aritméticas o geométricas.

- Sucesiones que se pueden plantear como función lineal o cuadrática.

- Sucesiones por diferencias o cocientes sucesivos.

- Sucesiones combinadas o alternadas.

- Sucesiones notables  (Fibonacci, etc)

Me refiero a sucesiones que tienen reglas tan caprichosas y rebuscadas que prácticamente equivalen a adivinar el pensamiento de quien los creó. Un ejemplo de estas sucesiones es el del siguiente problema:


Sea la sucesión 42, 47, 63, 87, 159, … ¿Qué número sigue?

 

Considero que no se deberían plantear de esta manera la sucesiones para la enseñanza escolar puesto que en realidad en cualquier secuencia podría seguir cualquier número ya que es posible obtener un polinomio que verifique la ley de formación con los números dados y el nuevo número, tal como ya se mostró en el video del famoso youtuber Cabezón. El video al que me refiero es el siguiente:

 


La manera como se obtiene la expresión general para lograr obtener la ley de formación para una cantidad dada de términos de la sucesión incluyendo el último término antojadizo es la que muestro a continuación.

Para dos términos X, Y cualesquiera tendremos la regla

En donde
 



Para tres términos X, Y, Z cualesquiera tendremos temporalmente una regla de la forma

 

Ésta no es la regla terminada puesto que no aparece la variable Z. Como ocurre que
  






pero cuando n = 3 deberíamos obtener Z, luego

 2a + 2Y - X = Z
De donde

Por lo que para tres términos X, Y, Z cualesquiera tendremos la regla

 


Se puede comprobar que



 



Para cuatro términos X, Y, Z, U cualesquiera tendremos temporalmente una regla de la forma

Ésta no es la regla terminada puesto que no aparece la variable U. Como ocurre que




pero cuando n = 4 deberíamos obtener U, luego

6a + 3Z + X - 3Y = U


Por lo que para cuatro términos X, Y, Z, U cualesquiera tendremos la regla



Se puede comprobar que


 




 

 


Para cinco términos X, Y, Z, U, V cualesquiera tendremos temporalmente una regla de la forma



Ésta no es la regla terminada puesto que no aparece la variable V. Como ocurre que



pero cuando n = 5 deberíamos obtener V, luego

24a + 4U - X + 4Y - 6Z = V

Por lo que para cinco términos X, Y, Z, U, V cualesquiera tendremos la regla



Se puede comprobar que
 








Hasta aquí tenemos una regla general para los cinco primeros términos como en el problema al inicio de este artículo, ahora agreguemos un término arbitrario más.

Para seis términos X, Y, Z, U, V, W cualesquiera tendremos temporalmente una regla de la forma



Ésta no es la regla terminada puesto que no aparece la variable W. Como ocurre que




 



pero cuando n = 6 deberíamos obtener W, luego

120a + X + 5V - 5Y + 10Z - 10U = W

De donde


Por lo que para seis términos X, Y, Z, U, V, W cualesquiera tendremos la regla


Se puede comprobar que


 









Po r supuesto que este procedimiento podría continuar tantas veces como sea necesario pero nos detendremos aquí. Esta última regla de formación obtenida significa que dados 5 términos cualesquiera de una sucesión se podría argumentar que un número cualquiera es el siguiente término bajo una regla de formación determinado por la última regla de formación.

Ejemplo:

Para X = 42; Y = 47; Z = 63; U = 87; V = 159

Yo podría argumentar que el siguiente número podría ser un número cualquiera, por ejemplo W = 200. Mi justificación sería que existe una regla de formación que lo prueba. Veamos:

Reemplazando los valores en


 Obtendremos


Simplificando esta expresión obtendremos finalmente


Con esta última expresión se ha justificado que en la sucesión 42, 47, 63, 87, 159, … el número que sigue es 200 (pude haber elegido cualquier otro número).

1 comentario:

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