Reflexiones de un profesor de Matemática: LA EXPOSICIÓN "MATEMÁTICA AL 2000"

Esta Exposición se desarrolló en el Centro Cultural de la Pontificia Universidad Católica en el año 1998. Aquí muestro los apuntes que copié de las instrucciones de los materiales didácticos mostrados. Estos materiales tienen como peculiaridad el de ser autoinstructivos. Los temas abarcan tópicos de matemática superior.
En la parte final muestro un artículo publicado en un suplemento del diario Expreso que trata sobre la Criba Perú, un trabajo realizado por el matemático peruano José Nalvarte. Por último se muestra los números primos menores que 1330 obtenidos rápidamente con esta criba usando tan sólo hasta los múltiplos de 31.

Publicado en VSD, suplemento de "La República", p. 17, 01 de mayo de 1998.

1. ARTE MATEMÁTICA

1.a. ANAMORFOSIS.

Este célebre cuadro es una demostración magistral del dominio de la perspectiva. Es una composición sabia, cargada de sentidos y símbolos, un homenaje a las cuatro Artes liberales de la época: la Aritmética, la Geometría, la Astronomía y la Música. (...)

1.1 Lo real definido

QUÉ HACEMOS: Para ver la imagen constituída encuentre el ángulo adecuado con la ayuda del espejo curvo.

QUÉ APRENDEMOS: En una anamorfosis el mundo real se representa de manera deformada o dislocada por la visión frontal. El restablecimiento de la imagen se logra gracias a una visión oblicua o con la ayuda de artificios ópticos como los espejos.

En un espejo plano todos los rayos producidos por el objeto se reflejan dando la impresión de que parten de puntos simétricos al objeto en relación a diferentes planos tangenciales al espejo. Éstos dan una imagen deformada del objeto.

Para realizar una anamorfosis - espejo se debe seguir el camino inverso: hacer un dibujo deformado para obtener una visión realista en el espejo.

1.2. El "morphing"

QUÉ HACEMOS: Ordene estas ochos caras en una secuencia lógica.

QUÉ APRENDEMOS: Cada vez más a menudo ~~imágenes~~ de síntesis muestran objetos que se deforman para convertirse en otros objetos. La base de estas transformaciones es una transformación llamada "baricéntrica": a todo par de puntos a y b tomados de dos imágenes diferentes la transformación encuentra un tercer punto c entre las dos primeras.
Esta transformación se calcula a partir de una relación del tipo c = ( 1- k) x a + k x b. Haciendo variar el número k de cero a uno, paso a paso, se obtiene un dibujo animado que nos lleva de la primera imagen a la segunda. Ésto es lo que se llama "morphing".

2. SUPERFICIES, CURVATURAS

2.a. SUPERFICIE A BASE DE RECTAS.
El arquitecto y el escultor pueden crear superficies curvas con rectas. Estas superficies se denominan superficies regladas.

2.1. Superficies regladas.

QUÉ HACEMOS: Haga girar la parte superior de cada objeto y obtendrá diferentes superficie reglada.

QUÉ APRENDEMOS: Una recta que se desplaza de modo constante sobre dos líneas genera una superficie curva llamada superficie reglada.
Si las dos líneas son rectas, la superficie resultante es un paraboloide o un plano; si se trata de dos círculos el resultado es un hiperboloide o un cilindro.

2.2. Herramientas de arquitecto.

QUÉ HACEMOS: Levante la placa posterior y observe la superficie reglada creada por los hilos ¿Cuál es la curva materializada por ~~los~~ las ~~planos~~ placas?

QUÉ APRENDEMOS: Todos los hilos son de la misma longitud. Al levantar la placa posterior, los planos dibujan una parábola y la superficie de los hilos es un paraboloide que podemos encontrar, por ejemplo, en los techos de ciertos edificios religiosos.
La concepción del diseño asistido por computador utiliza el principio de superficies regladas para dibujar las estructuras "en alambre".

2.b. UN MUNDO DE CURVATURAS.
1827: con la ayuda de pequeñas ~~triangulaciones~~ traslaciones?, Carl Friedrich Gauss, matemático y físico alemán, ~~muestra~~ que la Tierra es redonda, ligeramente aplanada en los polos.
1854: otro matemático alemán, Bernhard Riemann, funda una nueva geometría basada en la naturaleza de las curvaturas de las superficies.

2.3. ¿El camino más corto?

QUÉ HACEMOS: ¿El camino más corto entre dos puntos sobre una superficie es siempre la línea recta? Compruébelo con la ayuda de un elástico con cada uno de estos objetos.

QUÉ APRENDEMOS: La distancia más corta entre un punto y otro depende de la naturaleza de la superficie y de su curvatura.
Si la superficie puede aplanarse sin doblarse o ~~rasgaduras~~ es un segmento de recta de la superficie plana. Se dice entonces que la superficie es desarrollable.
En una esfera la distancia más corta es un arco de círculo.
De manera general, la distancia más corta en una superficie se denomina geodésica.

2.4. ¡Todos los mapas son falsos!

QUÉ HACEMOS: ¿Cuál es el camino más directo para ir de París a Tokyo?
Con la ayuda de un elástico compare el trayecto en el mapa con el trayecto que encuentre en el globo.

QUÉ APRENDEMOS: La curvatura de la esfera es de hecho una superficie que no podemos aplanar sin deformarla. Es por eso que todos los mapas son falsos. No pueden conservar, al mismo tiempo, las distancias, los ángulos y las superficies.
El usuario debe escoger la proyección que se adapte a lo que quiere conservar.
Para conocer la naturaleza de una curvatura se aplica un triángulo geodésico sobre la superficie y se mide la suma de los ángulos. Según sean inferior, igual o superior a 180°, la curvatura será negativa, nula o positiva.
Si la curvatura es positiva y constante, la superficie será esférica.

3. FORMAS / ESTRUCTURAS

3.a. LA NATURALEZA EN FORMAS.

Las primeras formas matemáticas que se han identificado en la naturaleza son los poliedros, objetos de muchas caras. Los ~~geólogos~~, biólogos, químicos y arquitectos los utilizan para representar, crear modelos o hacer construcciones.

3.2. Volúmenes de las pirámides.